Consejos útiles

Eje de simetría

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Secciones: Matemáticas

Objetivos:

  • educacional:
    • dar una idea de simetría,
    • Introducir los principales tipos de simetría en el plano y en el espacio.
    • desarrollar fuertes habilidades en la construcción de figuras simétricas,
    • expandir ideas sobre figuras famosas introduciendo propiedades relacionadas con la simetría,
    • Mostrar las posibilidades de utilizar la simetría para resolver varios problemas.
    • para consolidar el conocimiento adquirido,
  • educación general:
    • enseñarte a prepararte para el trabajo,
    • enseñarte a controlarte a ti mismo y a tu compañero de escritorio,
    • enseñarle a evaluarse a sí mismo y a su vecino en el escritorio,
  • desarrollando:
    • intensificar las actividades independientes,
    • para desarrollar actividad cognitiva,
    • aprender a resumir y sistematizar la información recibida,
  • educacional:
    • educar a los estudiantes con un "sentido del hombro",
    • para cultivar la comunicación,
    • para inculcar una cultura de comunicación.

Antes de cada mentira tijeras y una hoja de papel.

- Tome un trozo de papel, dóblelo por la mitad y corte un poco de forma. Ahora expanda la hoja y mire la línea de plegado.

Pregunta: ¿Qué función realiza esta línea?

Respuesta estimada: Esta línea divide la figura por la mitad.

Pregunta: ¿Cómo están todos los puntos de la figura en las dos mitades?

Respuesta estimada: Todos los puntos de las mitades están igualmente espaciados de la línea de plegado y al mismo nivel.

- Entonces, la línea de plegado divide la figura por la mitad, de modo que 1 mitad es una copia de 2 mitades, es decir esta línea no es simple, tiene una propiedad notable (todos los puntos relativos a ella están a la misma distancia), esta línea es el eje de simetría.

- Cortar un copo de nieve, encontrar el eje de simetría, caracterizarlo.

- Dibujar un círculo en el cuaderno.

Pregunta: ¿Determinar cómo pasa el eje de simetría?

Respuesta estimada: De diferentes maneras.

Pregunta: Entonces, ¿cuántos ejes de simetría tiene un círculo?

Respuesta estimada: Mucho

- Así es, un círculo tiene muchos ejes de simetría. Una figura igualmente notable es una bola (figura espacial)

Pregunta: ¿Qué otras formas tienen más de un eje de simetría?

Respuesta estimada: Cuadrados, rectángulos, isósceles y triángulos equiláteros.

- Considere figuras volumétricas: cubo, pirámide, cono, cilindro, etc. Estas figuras también tienen un eje de simetría. Determine cuántos ejes de simetría tienen un cuadrado, un rectángulo, un triángulo equilátero y las formas volumétricas propuestas.

Distribuyo a los estudiantes la mitad de las figuras de plastilina.

- Usando la información recibida, agregue la parte faltante de la figura.

Nota: La figura puede ser tanto plana como volumétrica. Es importante que los estudiantes determinen cómo va el eje de simetría y agreguen el elemento que falta. La corrección de la implementación determina el vecino en el escritorio, evalúa qué tan bien se realiza el trabajo.

Del cordón del mismo color en el escritorio se trazó una línea (cerrada, abierta, con auto intersección, sin auto intersección).

Tarea 5(trabajo grupal 5 min).

- Determine visualmente el eje de simetría y, con respecto a él, complete la segunda parte del cordón de otro color.

La exactitud del trabajo realizado es determinada por los propios estudiantes.

A los estudiantes se les presentan elementos de dibujos.

- Encuentra las partes simétricas de estos patrones.

Para consolidar el material, propongo las siguientes tareas previstas durante 15 minutos:

1. El OP directo es el eje de simetría del triángulo KOM.

Nombra todos los elementos iguales del triángulo KOR y KOM. ¿Cuál es la apariencia de estos triángulos?

2. En el cuaderno, dibuja varios triángulos isósceles con una base común de 6 cm.

3. Dibuje la línea AB. Construya una línea recta perpendicular al segmento AB y pasando por su centro. Marque los puntos C y D en él para que el cuadrilátero ACBD sea simétrico con respecto a la línea AB.

- Nuestras ideas iniciales sobre la forma pertenecen a una era muy lejana de la antigua Edad de Piedra: el Paleolítico. Durante cientos de milenios de este período, las personas vivieron en cuevas, en condiciones que diferían poco de la vida de los animales. Las personas fabricaron herramientas para la caza y la pesca, desarrollaron un lenguaje para comunicarse entre sí, y en la era del Paleolítico Tardío adornaron su existencia, creando obras de arte, figuras y dibujos en los que se encuentra un maravilloso sentido de la forma.
Cuando hubo una transición de la simple recolección de alimentos a su producción activa, de la caza y la pesca a la agricultura, la humanidad ingresa a la nueva Edad de Piedra, el Neolítico.
El hombre neolítico tenía un agudo sentido de la forma geométrica. Al tostar y pintar vasijas de arcilla, hacer esteras de caña, cestas, telas, más tarde, el procesamiento de metales desarrolló ideas sobre figuras planas y espaciales. Los adornos neolíticos deleitaron la vista, revelando igualdad y simetría.
- ¿Y dónde se encuentra la simetría en la naturaleza?

Respuesta estimada: alas de mariposas, escarabajos, hojas de árboles ...

- La simetría se puede observar en la arquitectura. Al construir edificios, los constructores se adhieren claramente a la simetría.

Por lo tanto, los edificios son tan hermosos. También un ejemplo de simetría es el hombre, los animales.

1. Para inventar su propio adorno, descríbalo en una hoja de formato A4 (puede dibujar en forma de alfombra).
2. Dibuja mariposas, observa dónde hay elementos de simetría.

Uso del término en otros campos científicos.

En el futuro, la simetría se considerará desde el punto de vista de la geometría, pero vale la pena mencionar que esta palabra se usa no solo aquí. Biología, virología, química, física, cristalografía: todo esto es una lista incompleta de áreas en las que se estudia este fenómeno desde diferentes ángulos y en diferentes condiciones. Por ejemplo, la clasificación depende de a qué ciencia se refiere este término. Entonces, la división en tipos varía mucho, aunque algunos de los principales, tal vez, permanecen sin cambios en todas partes.

Clasificación

Existen varios tipos básicos de simetría, de los cuales tres se encuentran con mayor frecuencia:

  • Espejo: observado en relación con uno o más planos. Además, el término se usa para indicar el tipo de simetría cuando se usa una transformación como la reflexión.
  • Viga, radial o axial: hay varias opciones en varios

Además, los siguientes tipos también se distinguen en geometría, se encuentran con mucha menos frecuencia, pero no menos curiosos:

  • deslizamiento
  • rotacional
  • punto
  • progresivo
  • atornillar
  • fractal
  • etc.

En biología, todas las especies se llaman de manera algo diferente, aunque en realidad pueden ser las mismas. La división en ciertos grupos se produce en función de la presencia o ausencia, así como del número de algunos elementos, como centros, planos y ejes de simetría. Deben considerarse por separado y con más detalle.

Elementos basicos

Algunas características se distinguen en el fenómeno, una de las cuales está necesariamente presente. Los llamados elementos básicos incluyen planos, centros y ejes de simetría. Es de acuerdo con su presencia, ausencia y cantidad que se determina el tipo.

Un centro de simetría es un punto dentro de una figura o cristal en el que convergen las líneas, conectando en pares todos los lados paralelos entre sí. Por supuesto, no siempre existe. Si hay lados para los que no hay un par paralelo, entonces no se puede encontrar ese punto, ya que no hay ninguno. Según la definición, es obvio que el centro de simetría es a través del cual la figura puede reflejarse sobre sí misma. Un ejemplo es, por ejemplo, un círculo y un punto en el medio. Este artículo generalmente se conoce como C.

El plano de simetría, por supuesto, es imaginario, pero es el que divide la figura en dos partes iguales. Puede pasar por uno o varios lados, ser paralelo a él y dividirlos. Para la misma figura, pueden existir varios planos a la vez. Estos elementos se conocen comúnmente como P.

Pero quizás lo más común es lo que se llama el "eje de simetría". Este fenómeno común se puede ver tanto en la geometría como en la naturaleza. Y es digno de una consideración por separado.

A menudo, un elemento con respecto al cual la figura puede llamarse simétrica,

Ejemplos son isósceles y triángulos equiláteros. En el primer caso, habrá un eje vertical de simetría, en ambos lados de los cuales hay caras iguales, y en la segunda línea intersectarán cada esquina y coincidirán con todas las bisectrices, medianas y alturas. Los triángulos ordinarios no lo tienen.

Por cierto, la totalidad de todos los elementos anteriores en cristalografía y estereometría se llama grado de simetría. Este indicador depende del número de ejes, planos y centros.

Ejemplos de geometría

Convencionalmente, se puede dividir todo el conjunto de objetos de estudio de los matemáticos en figuras que tienen un eje de simetría y aquellas que no lo tienen. Todos los polígonos regulares, círculos, óvalos, así como algunos casos especiales, entran automáticamente en la primera categoría, mientras que el resto cae en el segundo grupo.

Como en el caso cuando hablamos sobre el eje de simetría de un triángulo, este elemento para un cuadrángulo no siempre existe. Para un cuadrado, rectángulo, rombo o paralelogramo, es, pero para una figura irregular, respectivamente, no. Para un círculo, el eje de simetría es el conjunto de líneas que pasan por su centro.

Además, es interesante considerar cifras volumétricas desde este punto de vista. Además de todos los polígonos regulares y una pelota, algunos conos, así como las pirámides, los paralelogramos y algunos otros, poseerán al menos un eje de simetría. Cada caso debe considerarse por separado.

Ejemplos en la naturaleza

La simetría de espejo en la vida se llama bilateral, se encuentra más
a menudo Cualquier persona y tantos animales son un ejemplo de esto. Axial se llama radial y es mucho menos común, generalmente en el mundo vegetal. Y aún lo son. Por ejemplo, vale la pena considerar cuántos ejes de simetría tiene una estrella, ¿y los tiene? Por supuesto, estamos hablando de la vida marina, y no del tema de estudio de los astrónomos. Y la respuesta correcta sería esta: depende del número de rayos de la estrella, por ejemplo cinco, si es de cinco puntas.

Además, se observa simetría radial en muchas flores: manzanilla, acianos, girasoles, etc. Hay una gran cantidad de ejemplos, están literalmente en todas partes.

Este término, en primer lugar, recuerda a la mayoría de la medicina y la cardiología, sin embargo, inicialmente tiene un significado ligeramente diferente. En este caso, el sinónimo es "asimetría", es decir, la ausencia o violación de la regularidad de una forma u otra. Se puede enfrentar como un accidente y, a veces, puede ser una bienvenida maravillosa, por ejemplo, en ropa o arquitectura. Después de todo, hay muchos edificios simétricos, pero la famosa Torre Inclinada de Pisa está ligeramente inclinada, y aunque no es la única, es el ejemplo más famoso. Se sabe que esto sucedió por casualidad, pero esto tiene su propio encanto.

Además, es obvio que los rostros y cuerpos de personas y animales tampoco son completamente simétricos. Incluso se realizaron estudios, de acuerdo con los resultados de los cuales las personas "correctas" fueron consideradas inanimadas o simplemente poco atractivas. Sin embargo, la percepción de simetría y este fenómeno en sí mismos son sorprendentes y aún no se comprenden completamente y, por lo tanto, son extremadamente interesantes.

Tipos de simetria

También discutimos algunos tipos de simetría para estudiar completamente este concepto. Se dividen de la siguiente manera:

  • Axial El eje de simetría es la línea que pasa por el centro del cuerpo. Como es eso Si superpone las partes alrededor del eje de simetría, serán iguales. Esto se puede ver en la esfera.
  • Espejo. El eje de simetría aquí es la línea recta, con respecto a la cual se puede reflejar el cuerpo y obtener el mapeo inverso. Por ejemplo, las alas de mariposa son simétricas en espejo.
  • Central El eje de simetría es un punto en el centro del cuerpo, con respecto al cual, durante todas las transformaciones, las partes del cuerpo son iguales cuando se superponen.

    Historia de simetría

    El concepto mismo de simetría es a menudo el punto de partida en las teorías e hipótesis de los científicos de la antigüedad que confiaban en la armonía matemática del universo, así como en la manifestación del principio divino. Los antiguos griegos creían sagradamente que el Universo es simétrico, porque la simetría es magnífica. El hombre ha usado durante mucho tiempo la idea de simetría en su conocimiento de la imagen del universo.

    En el siglo V aC, Pitágoras consideraba que la esfera era la forma más perfecta y pensaba que la Tierra tenía la forma de una esfera y se movía de la misma manera. También creía que la Tierra se movía en forma de una especie de "fuego central" alrededor del cual giraban 6 planetas (conocidos en ese momento), la Luna, el Sol y todas las demás estrellas.

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    Y el filósofo Platón consideraba los poliedros como la personificación de cuatro elementos naturales:

    • tetraedro - fuego, ya que su parte superior está dirigida hacia arriba,
    • el cubo es tierra, porque es el cuerpo más estable,
    • el octaedro es aire, no hay explicación
    • el icosaedro es agua, porque el cuerpo no tiene formas geométricas ásperas, ángulos, etc.
    • La imagen del universo entero era el dodecaedro.

    Debido a todas estas teorías, los poliedros regulares se llaman cuerpos de Platón.

    Los arquitectos de la antigua Grecia usaban la simetría. Todos sus edificios eran simétricos, esto se evidencia en imágenes del antiguo templo de Zeus en Olimpia.

    El artista holandés M.K. Escher también recurrió a la simetría en sus pinturas. En particular, un mosaico de dos pájaros volando hacia, se convirtió en la base de la pintura "Día y noche".

    Además, nuestros historiadores del arte no descuidaron las reglas de simetría, como se puede ver en el ejemplo de la pintura de V. Vasnetsov "Los héroes".

    ¿Qué puedo decir? La simetría es un concepto clave para todos los artistas a lo largo de muchos siglos, pero en el siglo XX, todos los científicos exactos también apreciaron su significado. La evidencia exacta son las teorías físicas y cosmológicas, por ejemplo, la teoría de la relatividad, la teoría de cuerdas, absolutamente toda la mecánica cuántica. Desde la época de la antigua Babilonia y terminando con los descubrimientos avanzados de la ciencia moderna, se trazan los caminos del estudio de la simetría y el descubrimiento de sus leyes básicas.

    Simetría de formas geométricas y cuerpos.

    Echemos un vistazo más de cerca a los cuerpos geométricos. Por ejemplo, el eje de simetría de una parábola es una línea recta que pasa por su vértice y disecciona este cuerpo por la mitad. Esta figura tiene un solo eje.

    Y con figuras geométricas, la situación es diferente. El eje de simetría del rectángulo también es una línea recta, pero hay varios de ellos. Puede dibujar un eje paralelo a los segmentos de longitud, o puede dibujar la longitud. Pero no tan simple. Aquí la línea no tiene ejes de simetría, ya que su final no está definido. Solo podría existir simetría central, pero, en consecuencia, no habrá una.

    También debe saber que algunos cuerpos tienen muchos ejes de simetría. Esto es fácil de adivinar. Ni siquiera necesita hablar sobre cuántos ejes de simetría tiene un círculo. Cualquier línea que pase por el centro del círculo es tal, y estas líneas son un número infinito.

    Algunos cuadrángulos pueden tener dos ejes de simetría. Pero el segundo debe ser perpendicular. Esto sucede en el caso de un rombo y un rectángulo. En el primer eje de simetría - diagonales, y en el segundo - las líneas medias. Muchos de estos ejes están solo en el cuadrado.

    Simetría en la naturaleza

    La naturaleza golpea con muchos ejemplos de simetría. Incluso nuestro cuerpo humano es simétrico. Dos ojos, dos orejas, una nariz y una boca están ubicados simétricamente con respecto al eje central de la cara. Los brazos, las piernas y todo el cuerpo generalmente están dispuestos simétricamente con el eje que pasa por la mitad de nuestro cuerpo.

    ¡Y cuántos ejemplos nos rodean constantemente! Estas son flores, hojas, pétalos, vegetales y frutas, los animales e incluso los panales de abejas tienen una forma geométrica pronunciada y simetría. Toda la naturaleza está ordenada de manera ordenada, todo tiene su propio lugar, lo que confirma una vez más la perfección de las leyes de la naturaleza, en las que la simetría es la condición principal.

    Estamos constantemente rodeados de cualquier fenómeno y objeto, por ejemplo, un arco iris, una gota, flores, pétalos, etc. Su simetría es obvia, en cierta medida se debe a la gravedad. A menudo en la naturaleza, el término "simetría" se entiende como el cambio regular de día y noche, estaciones, etc.

    Propiedades similares se observan donde hay orden e igualdad. Además, las propias leyes de la naturaleza, astronómicas, químicas, biológicas e incluso genéticas, están sujetas a ciertos principios de simetría, ya que tienen una consistencia perfecta, lo que significa que el equilibrio tiene una escala que lo abarca todo. En consecuencia, la simetría axial es una de las leyes fundamentales del universo en su conjunto.

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