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El teorema de la suma de los ángulos triangulares

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Secciones: Matemáticas

En este artículo, considero una de las formas de mejorar la actividad cognitiva de los escolares y aumentar el nivel de su pensamiento lógico: planteamos a los niños el problema de encontrar varias formas de probar el mismo teorema, usando ejemplos que mostramos cómo se hace esto.

Pero cómo alentar a los estudiantes a buscar de manera independiente diferentes formas de demostrar teoremas, cómo organizar el trabajo apropiado con los estudiantes en el aula y en actividades extracurriculares. Esto es especialmente importante en la etapa inicial de estudiar geometría en el séptimo grado, para sumergir en la conciencia de los niños la necesidad de buscar nuevas pruebas. Arreglamos esta habilidad en las etapas posteriores de estudiar geometría.

Primero consideramos las pruebas de algunos teoremas de varias maneras.

El teorema de la suma de los ángulos triangulares

Redacción: La suma de los ángulos internos del triángulo es 180º.

Prueba:

Dejamos a un lado ángulos respectivamente iguales a los ángulos A y B de los lados del ángulo ICA: un ángulo igual a A se separa del rayo CA en ese semiplano con respecto a la línea CA que no contiene el punto B (Fig.1). Es necesario demostrar que el ángulo NСM es igual a 180º, es decir está desplegado

Desde la igualdad de los ángulos internos de mentira A y MCA, se sigue el paralelismo de las líneas rectas SM y AB. Del mismo modo, vemos que CN ║ AB.

Refiriéndose al axioma paralelo, concluimos que las líneas rectas SM y CN coinciden. Por lo tanto, ∟МСN = 180º, y contiene la suma de los tres ángulos internos del triángulo.

Dibuje un haz de CA y un haz de CF paralelos a AB. ∟A = ∟DCF como corresponde para las líneas paralelas CF y AB y secante AC.

=В = ∟BCF como cruces internas que mienten con líneas rectas paralelas CF y АВ y aviones secantes. ∟ACD = 180º, porque este ángulo se despliega, lo que significa: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Dibuja los rayos del sol y los altavoces y dibuja el SM ║ AB. ∟DCF = ∟ACB como vertical, ∟A = ∟FCM como correspondiente para las líneas paralelas CM y AB y secante AC. ∟В = ∟MCB como cruces internos que mienten con líneas paralelas CM y AB y aviones secantes. ∟DCB = 180º, porque Este ángulo está desplegado. Pero este ángulo desplegado resultó ser igual a la suma de los tres ángulos internos del triángulo, lo que significa: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Dibuja SM М VA. ∟A = ∟MCA como cruz interna en SM при VA y secante AC. ∟ВСМ = ∟А + ∟С. ∟ВСМ + ∟В = 180º, porque Estas esquinas son internas de un lado con líneas rectas paralelas CM y VA y aviones secantes, lo que significa: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Teorema de la dependencia de los ángulos de un triángulo en sus lados.

Redacción: en el triángulo contra el lado más grande se encuentra un ángulo más grande.

Prueba:

Considere el caso cuando en ∆ ABC AC> AB. Nos propusimos probar que ∟С ∟ADM = ∟АЕМ> ∟С as (aplicamos las propiedades de los ángulos externos ∆ MVD y ∆ СЕМ). Por lo tanto, ∟B> ∟C.

Puede omitir los perpendiculares BT y CI al haz AM (Fig. 7).

Entonces resulta que ∟ABT = ∟ACI, ∟В> ∟ АВТ = ∟ACI> ∟С.
Entonces, ∟В> ∟С. El teorema está probado.

Teorema de tres perpendiculares (directo e inverso)

Declaración (teorema directo): Si una línea recta dibujada en un plano a través de la base de un oblicuo es perpendicular a su proyección, entonces es perpendicular a la más inclinada.

Prueba:

Yo metodo:
(Prueba del teorema directo)

Sea t ┴ OA. Suponga que SA no es perpendicular a la línea t. Dibuje SB ┴ t; luego SA> SB. Desde los triángulos rectángulos SOA y SOB: OA2 = SA2 - SO2, OB2 = SB2 - SO2. Recibimos: OA> OB. Mientras tanto, OA 3) la suma de los ángulos internos de un polígono convexo se calcula mediante la fórmula 180º (k -2). Para obtener un (k + 1) -gon de un k-gon, es suficiente para "refractar" uno de los lados, y sin perder convexidad, agregue dos líneas discontinuas, luego se agregarán 180º a la suma de los ángulos internos del pasado k-gon (para ángulos ∆ABC).
180º (k -2) + 180º = 180ºk - 360º + 180º = 180º ((k + 1) - 2). La afirmación para n = k + 1 está probada. De acuerdo con el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para cualquier número natural n, al menos tres. El teorema está probado.

El segundo grupo de estudiantes lleva a cabo la prueba del teorema dibujando diagonales provenientes de un vértice. Los chicos notan que si n es el número de lados de un polígono convexo, entonces (n - 2) es el número de triángulos formados. Y porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, luego la suma de los ángulos internos de un n-gón convexo es 180º (n -2).

El tercer grupo de niños encuentra una prueba del teorema, dividiendo el polígono en n triángulos con un vértice común en la región interna. La suma de los ángulos internos de un n-gon convexo es 180ºn - 360º = 180º (n -2).

Y finalmente, el cuarto grupo de estudiantes, estudiando la Fig. 12 y completando la Fig. 13 adicional (dibujamos esquinas con lados paralelos respectivamente para los ángulos с1 a ∟6), llega a la conclusión: la suma de los ángulos internos de un n-gon convexo es 180ºn - 360º = 180º (n -2).

Después de la preparación preliminar, los representantes de cada grupo en el tablero demuestran a la clase la prueba encontrada del teorema.

¡Resultó una verdadera celebración del conocimiento!

Al acostumbrar a los estudiantes a búsquedas independientes de evidencia, alentando su trabajo en esta dirección (incluso si la evidencia encontrada es más complicada que la conocida), se puede lograr un conocimiento más sólido y profundo y aumentar el interés en el tema.

Contenido

Del teorema se desprende que cualquier triángulo tiene al menos dos ángulos agudos. De hecho, aplicando la prueba por contradicción, suponga que un triángulo tiene un solo ángulo agudo o ningún ángulo agudo. Entonces este triángulo tiene al menos dos ángulos, cada uno de los cuales tiene al menos 90 °. La suma de estos ángulos no es inferior a 180 °. Y esto es imposible, ya que la suma de todos los ángulos del triángulo es 180 °.

Existe una relación más complicada entre los ángulos diédricos de un símplex arbitrario. A saber, si L i j < displaystyle L_> Es el ángulo entre las caras i y j del símplex, entonces el determinante de la siguiente matriz (que es circulante) es 0:

Tipos de los ángulos más grandes.

Se distinguen los siguientes tipos de polígonos con tres vértices:

  • ángulo agudo, en el que todos los ángulos son agudos,
  • rectangular, que tiene un ángulo recto, mientras que los lados que lo forman se llaman patas, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa,
  • obtuso, cuando una esquina es obtusa,
  • isósceles, en los que los dos lados son iguales, y se llaman laterales, y el tercero, la base del triángulo,
  • equilátero, que tiene los tres lados iguales.

Se distinguen las principales propiedades que son características de cada tipo de triángulo:

  • opuesto al lado más grande siempre hay un ángulo más grande, y viceversa,
  • ángulos opuestos de igual tamaño son ángulos iguales, y viceversa
  • cualquier triángulo tiene dos esquinas afiladas,
  • la esquina externa es más grande que cualquier esquina interna que no sea adyacente a ella,
  • la suma de cualquiera de los dos ángulos siempre es inferior a 180 grados,
  • El ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos restantes que no interfieren con él.

El teorema de la suma de los ángulos triangulares

El teorema afirma que si sumas todos los ángulos de una figura geométrica dada, que se encuentra en el plano euclidiano, entonces su suma será de 180 grados. Tratemos de probar este teorema.

Tengamos un triángulo arbitrario con los vértices del KMN.

El siguiente corolario se desprende del teorema demostrado anteriormente: cualquier triángulo tiene dos ángulos agudos. Para probar esto, suponga que una figura geométrica dada tiene solo un ángulo agudo. También se puede suponer que ninguno de los ángulos es agudo. En este caso, debe haber al menos dos ángulos, cuyo valor sea igual o mayor a 90 grados. Pero entonces la suma de los ángulos será más de 180 grados. Pero esto no puede ser, porque según el teorema, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °, ni más ni menos. Esto era lo que tenía que ser probado.

Propiedad de la esquina exterior

¿Cuál es la suma de los ángulos del triángulo que son externos? La respuesta a esta pregunta se puede obtener aplicando uno de los dos métodos. La primera es que es necesario encontrar la suma de los ángulos que se toman uno en cada vértice, es decir, tres ángulos. El segundo implica que necesitas encontrar la suma de los seis ángulos en los vértices. Para empezar, trataremos con la primera opción. Entonces, el triángulo contiene seis esquinas exteriores, en cada vértice dos.

Además, se sabe que el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de dos internos que no interfieren con él. Por lo tanto

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

De esto resulta que la suma de las esquinas exteriores, que se toman una por una cerca de cada vértice, será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

Dado que la suma de los ángulos es de 180 grados, se puede argumentar que ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. Y esto significa que ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Si se aplica la segunda opción, la suma de las seis esquinas será, respectivamente, el doble de grande. Es decir, la suma de los ángulos externos del triángulo será:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Triángulo rectángulo

¿Cuál es la suma de los ángulos de un triángulo rectángulo que son afilados? La respuesta a esta pregunta, nuevamente, se deriva de un teorema que establece que los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Y nuestra declaración (propiedad) suena así: en un triángulo rectángulo, los ángulos agudos suman 90 grados. Probemos su veracidad.

Entonces, de acuerdo con el teorema de la suma de los ángulos ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. Nuestra condición dice que сказаноН = 90 °. Entonces resulta que ∟К + ∟М + 90 ° = 180 °. Es decir, ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. Eso es lo que deberíamos haber probado.

Además de las propiedades descritas anteriormente de un triángulo rectángulo, puede agregar lo siguiente:

  • los ángulos que descansan contra las piernas son afilados,
  • la hipotenusa de un triángulo es más grande que cualquiera de las patas,
  • la suma de las piernas es mayor que la hipotenusa,
  • la pata del triángulo, que se encuentra opuesta al ángulo de 30 grados, es la mitad de la hipotenusa, es decir, es igual a la mitad.

Como otra propiedad de esta figura geométrica, podemos distinguir el teorema de Pitágoras. Ella afirma que en un triángulo con un ángulo de 90 grados (rectangular), la suma de los cuadrados de las patas es igual al cuadrado de la hipotenusa.

La suma de los ángulos de un triángulo isósceles.

Dijimos anteriormente que un polígono con tres vértices, que contiene dos lados iguales, es isósceles. Esta propiedad de esta figura geométrica es conocida: los ángulos en su base son iguales. Probémoslo.

Tome el triángulo KMN, que es isósceles, KN ​​- su base.

Pero nos interesa cuál es la suma de los ángulos de un triángulo (isósceles). Como a este respecto no tiene sus propias características, procederemos del teorema considerado anteriormente. Es decir, podemos decir que ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, o 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (ya que ∟К = ∟Н). No probaremos esta propiedad, ya que el teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo se demostró anteriormente.

Además de las propiedades consideradas sobre los ángulos de un triángulo, también hay declaraciones tan importantes:

  • en un triángulo isósceles, la altura que se bajó a la base es al mismo tiempo la mediana, la bisectriz del ángulo que se encuentra entre lados iguales, así como el eje de simetría de su base,
  • Las medianas (bisectrices, alturas) que se dibujan a los lados de dicha figura geométrica son iguales.

Triángulo equilátero

También se llama regular; es ese triángulo en el que todos los lados son iguales. Por lo tanto, los ángulos son iguales también. Cada uno de ellos es de 60 grados. Probemos esta propiedad.

Supongamos que tenemos un triángulo KMN. Sabemos que KM = NM = KN. Y esto significa que de acuerdo con la propiedad de los ángulos ubicados en la base en un triángulo isósceles, ∟К = ∟М = ∟Н. Como, según el teorema, la suma de los ángulos del triángulo es ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, entonces 3 x ∟К = 180 ° o ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Por lo tanto, la declaración está probada.

También existen tales propiedades características de un triángulo equilátero:

  • la mediana, la bisectriz, la altura en una figura geométrica coinciden, y su longitud se calcula como (а х √3): 2,
  • si describimos un círculo alrededor de un polígono dado, entonces su radio será igual a (а х √3): 3,
  • si ingresa un círculo en un triángulo equilátero, entonces su radio será (y x √3): 6,
  • El área de esta figura geométrica se calcula mediante la fórmula: (a2 x √3): 4.

Triángulo obtuso

Según la definición de un triángulo obtuso, uno de sus ángulos está en el rango de 90 a 180 grados. Pero considerando que los otros dos ángulos de esta figura geométrica son afilados, podemos concluir que no exceden los 90 grados. Por lo tanto, el teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo funciona al calcular la suma de los ángulos en un triángulo obtuso. Resulta que podemos decir con seguridad, con base en el teorema antes mencionado, que la suma de los ángulos de un triángulo obtuso es de 180 grados. Nuevamente, este teorema no necesita ser probado nuevamente.

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